2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题研究

孟囿弟 龚敏

[摘? 要] 文章从试题立意、试题解题方法、试题教材背景等方面对2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题进行了研究，该立体几何题是对学生数学思维、推理及数学探究能力等的全面考查，培养学生的数学素养.

[关键词] 高考题;立体几何;立意分析;研究

试题呈现与简评

2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题：

简评：此题以勾股定理的逆定理、线段的定比分点定理、线面垂直判定定理、三垂线定理、空间向量及运算等基础知识为载体，对数学推理能力、研究能力、思维能力、思想方法进行了较全面的考查，是一道深化能力立意的好题目. 本文从试题立意、试题解题方法、试题教材背景等方面，对此题进行了一番探究，以期为中学教师在平日教学中，提供多角度、多视角的变式教学素材，培养学生思维的广阔性、发散性、灵活性等.?试题的立意分析

立意是试题的考查目的，能力立意是高考数学命题的重要价值取向，一般从数学语言、数学知识、数学思想方法、数学能力素养等方面确定试题的考查目的. 该题主要考查了数学思想方法和数学能力素养，下面从这两方面分析该题的立意.

以数学思想方法立意：该题第（1）问，若采用线面垂直的判定定理进行证明，需运用转化的数学思想，将线线垂直转化为线面垂直，从而得以证明;若不用线面垂直的判定定理，可从射影知识入手，将立体几何转化为平面几何知识，然后结合三角形外心唯一的知识，证明射影点与已知点重合，进而解决问题. 该题第（2）问，可先考虑建立空间直角坐标系（坐标法），然后用向量法，数形结合解决问题;若不建立空间直角坐标系，可先作辅助线，由三垂线定理找到二面角所对应的平面角，再运用几何等体积法求得点面距离，进而解决问题. 因此，本题的解答可以涉及三大基本方法：坐标法、向量法、几何法. 解决立体结合中的问题，几何法以逻辑推理作为工具解决问题，向量法利用向量的概念及运算解决问题，坐标法利用数及其运算解决问题. 坐标法常与向量运算结合运用[1]. 该题考查了数形结合、转化与化归等数学思想.

以数学能力素养立意：该题考查了学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力（动手作图）和探究意识. 该题对思维能力进行了全面考查，对问题的解答，需要经历“作图—观察—猜想—证明”等过程，数学证明处于数学理性思维的最高层次[2]. 观察、联系众多空间几何体的基本元素，预计与顿悟解题思路，尝试与选择解题方法等，考查了学生的直觉思维;对直角三角形的判定，对各边长的计算，寻找二面角所对应的平面角等，考查了逻辑思维;对解题思路的探寻，对数学命题的证明，对数学知识的应用等，考查了学生思维的广阔性和探究意识.

由此分析，高考试题扎根于教材，是教材上例题和习题的改编或推广，在平时的教学和复习时，教师们需重视教材，对教材中例题、习题、复习题的解题思路、数学思想方法、解题策略、改编形式进行引导与讲解. 同时，大力提倡立足于教材编拟高考试题，不编难题、偏题，回归教材，减轻学生的课业负担，让学生快乐学习，培养学生的数学素养.

參考文献：

[1]? 刘绍学，章建跃等.普通高中课程标准实验教科书数学2-1（选修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：110.

[2]? 赵思林. 论数学证明的教育价值[J]. 中学数学杂志：初中版，2016（10）.

[3]? 于国海. 优化与生成——数学解题的价值取向[J]. 数学通报，2011， 50（2）：10-12.

[4]? 刘绍学，章建跃等. 普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：67.

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2019-05-24